2026-08-21 · Googology, 深夜テンション
比那名居天子数の定義
考えついた巨大数、比那名居天子数の定義
比那名居天子数（Truth-Extended Nested Knock-On Number, TENKO）
言語
議論領域は $V$ とします。順序数の対 $(k, a)$ に対して、$L[k, a]$ を次のように定めます。$k$ は論理の階数、$a$ は真理述語の階層の高さを表します。
$L[k, a]$ の記号は $\in$ と四項述語 $T$ です。$T$ の意図された解釈は次のとおりです。
$T(j, g, \ulcorner \varphi \urcorner, s) \iff j \le k \text{、} g < a \text{、} \varphi \text{ は } L[j, g] \text{ の論理式、} s \text{ は割り当て、かつ } \varphi \text{ が } s \text{ のもとで } V \text{ において真}$
変数は $j$ 階までの高階変数を許します。すなわち $0$ 階変数は $V$ の元を、$m+1$ 階変数は $m$ 階変数の集まりのクラスを走り、極限階と超限階については階数変数を含む累積的な定義で与えます。階数そのものを言語の内部で指示できるように、階数変数を項として扱います。
真理述語は $V$ の内部では定義できませんので、この意味論はメタ理論の側で与えます。
二つの対角化
記号数 $n$ 以下の $L[k, a]$ 論理式は有限個ですので、次はどちらも整合的に定まります。
$R_{k,a}(n) := \text{記号数 } n \text{ 以下の } L[k, a] \text{ 論理式によりパラメータなしで一意指定できる自然数すべてより大きい最小の自然数}$ $\Omega_{k,a}(n) := \text{同条件で一意指定できる順序数すべての上限の後続順序数}$
三重の相互再帰
三つ組 $(k, a, n)$ に対して、
$ \begin{align*} n_1 &:= R_{k,a}(n) \\ a_1 &:= \Omega_{k,a}(n_1) \\ k_1 &:= \Omega_{k,a_1}(n_1) \\ n_2 &:= R_{k_1,a_1}(n_1) \\ S(k, a, n) &:= (k_1, a_1, n_2) \end{align*} $
とします。数が真理階層を伸ばし、伸びた真理階層が論理の階数を伸ばし、伸びた階数がふたたび数を伸ばします。
増大は次のように保証されます。$L[k, a]$ では「$\forall j \forall y \forall s \neg T(j, g, y, s)$ を満たす最小の $g$」という短い論理式が $a$ 自身を指定しますので、$\Omega_{k,a}$ は $a$ を超えます。同様に「$\forall g \forall y \forall s \neg T(j, g, y, s)$ を満たす最小の $j$」が $k$ 自身を指定しますので、$k_1$ は $k$ を超えます。$R$ についても $n_1 > n$ が成り立ちます。したがって三成分すべてが一段ごとに真に増大します。
数
$ \begin{align*} \mathrm{TENKO}(n) &:= S^n(0, 0, n) \text{ の第三成分} \\ g_0 &:= 10^{100} \\ g_{k+1} &:= \mathrm{TENKO}^{g_k}(g_k) \\ \text{比那名居天子数} &:= g_{100} \end{align*} $
注意
四項述語 $T$ の解釈が階数 $k$ に自己言及的に依存しますので、循環性を避けるには相対化が必要です。厳密性を優先する場合は、到達不能基数 $\kappa$ を固定し、$V$ を $V_\kappa$ に、高階変数を $V_{\kappa+j}$ の元に置き換え、全体を $\mathrm{ZFC} + \text{到達不能基数の存在}$ の内部で実行してください。この版であれば充足関係はすべて通常の意味で存在しますので、well-defined 性の証明が可能になります。
